Кардинальной проблемой численного моделирования миграционных процессов является дискретизация в пространстве и во времени. При пространственной дискретизации наиболее часто употребляются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных эле-
Рис. 24. Схема квадратной ячейки сеточной модели миграционного потока: ■а - параметры свойств; б - результаты миграционного расчета. / - первичные результаты; 2 - билинейная интерполяция; 3 к 4 - расчетный и соседние узлы сеткн. Ментов (МКЭ), основные положення которых описаны, например, в работах . В дальнейшем будем рассматривать только МКР, позволяющий более наглядно представить разностную модель процесса. При этом используются консервативные разностные схемы, в основе которых находится составление баланса вещества в блоке (ячейке), относящемся к каждой узловой точке (метод составных ячеек ). При этом для каждой ячейки определяют конвективные притоки и оттоки мигрантов при помощи линейной интерполяции между соседними узлами (что соответствует основной разности МКР) или используют значение концентраций с узла, из которого поступает мигрант (что соответствует обратной разности МКР). Для определения притока и оттока мигранта вследствие дисперсии используются также первые частные производные концентрации с перпендикулярно и параллельно границам ячеек, которые можно билинейно установить по соседним значениям. Рассмотрим основные положения решения проблемы дискретизации применительно к двумерному конвективно-дисперсионному потоку в гомогенной среде с учетом процессов распада по уравнению (3.8) при Кос-Я и действия миграционных источников-стоков с интенсивностью w. В таком случае дифференциальное уравнение конвективно-диффузионного переноса нейтрального мигранта в двумерном потоке (с координатами xt при хх=х и х2-у) имеет вид TOC \o "1-3" \h \z д / г\ дс \ , де і, дс, ID,------ І + ^і------------ ас 4- w = л0 -- . (7.1) Если знак q выявляется только в результате расчета, то в общем справедливо соотношение 2qmkc _ (gtnk _J_ gmk) ck _J_ (qtnk _ [ qmk I) Таким образом, получают линейную систему уравнений с п уравнениями (л - число ячеек с определяемыми значениями с), асимметричная матрица коэффициентов которых указывает на каждые четыре занятых верхних и нижних кодиагонала наряду с основными диагоналями. Изображаемые таким способом вычислительные модели миграции примерно равнозначны моделям (матричным уравнениям), сформулированным с помощью нормального МКР, а также моделям МК. Э с помощью линейной аппроксимации функций. Преимущество такой системы состоит в том, что здесь гарантируется максимальная наглядность математического описания процесса. В настоящее время при численном моделировании миграции почти исключительно используют для временной производной частную разность первого порядка и строят модель миграции, учитывая важность двух временных уровней. Тогда уравнение (7.1) для миграционной модели имеет вид Неявная (см. рис. 25, б); у=\/2- Кранка - Никольсона (см. рис. 25, в); 7=2/3 - Галеркина (см. рис. 25, в). Для Vе (0; 2/3; 1) доказывается порядок аппроксимации 0(Д0 и для y=: 1/2-0 (Дt) , Из разложения функций в ряд Тейлора следует, что численную дисперсию вызывают как Требует тонкой дискретизации. Даже обеспечение возможности коррекции коэффициента дисперсии DKop согласно выражению TOC \o "1-3" \h \z Асор = D - [ I * I Д*/2 + А^2/(2я0)] > 0 (7:6) Не исключает значительных затрат по дискретизации^ Для характеристики дискретизации процессов миграции пользуются безмерными числами, получаемыми из уравнения (7.3): 0 I v I Ах Ах Дtv* At I v I Редх = --! ж и Di А для характеристики осцилляций - производными характеристиками РеЛд: П0 Ах Ах П0 Ах2 Из уравнения следует, что значительные затраты на пространственную дискретизацию миграционных процессов оправданы лишь, когда одинаковый порядок величин имеет также погрешность временной дискретизации. Поэтому схема Крайка-Николь - сона с погрешностью порядка At2 часто используется в моделировании, несмотря на связанные с этим опасения в отношении стабильности. Ее повышение достигается с помощью метода «предиктор-корректор» Г10]. При этом согласно неявной схеме решения (Y=1) рассчитывается полушаг At/2 при исходном положении всех параметров ко времени t и определяются значения с*+Л(12. Затем по схеме Крайка-Никольсона (у= 1/2) реализуется весь шаг At, причем все параметры миграции, члены источников-стоков, обмена и замещения, а также член конвекции задаются на момент времени t+At/2. Таким образом, вычислительная модель уравнения (7.2) при полном шаге получается в таком виде (см. рис. 25): Причем для dc/dt надо подставить одно-, дву - или трехмерное исходное.дифференциальное уравнение, а для d2c/dt2 его производную. Наконец, очень значительная точность аппроксимации достигается благодаря тому, что временная производная учитывается не только в точке п (это в общем виде относится также к членам источников-стоков ic и да), но и на соседних узлах. В наиболее простой форме эту подстановку осуществляют по правилу Симп - сона: dc/dt-(1/6) [{dc/dt)a-.i+4(dc/dt)n+(dc/di)n-1]. На рис. 25, е приведена также конечно-разностная схема для одномерных процессов миграции, предложенная Г. Стояном. Эта схема дает возможность управлять вычислением всех частных производных и получать стабильные и точные численные решения, особенно для случаев чистой дисперсии или чистой конвекции. Выбранный численный метод пригоден лишь в тех случаях, когда численное решение стремится к точному при уменьшающейся ширине. шага, т. е. когда этот метод является сходящимся. Численная дисперсия вызывается прежде всего дискретностью членов:конвекции и емкости (аккумуляции), т. е. первыми производными зависимых переменных. Это может приводить к значительным погрешностям при моделировании миграционных процессов с? небольшим коэффициентом дисперсии £>, величина которых для различных численных моделей миграции получается в зависимости от Ре^лг и числа Di или Сг. Благодаря введению исправ< ленных. коэффициентов дисперсии [см., например, уравнение (7.6)] значительно уменьшаются погрешности и в простых дискретных схемах. (Стабильные обратные разности членов конвекции и аккумуляции, а также МК. Э с линейными пространственными и временными начальными функциями приводят к значительной численной дисперсии или требуют очень тонкой локальной и временной дискретизации. Численные осцилляции происходят в определенных условиях и, как правило, определяются сравнением с соответствующими аналитическими решениями. Опасность колебаний возникает преимущественно в процессах с доминирующей конвекцией. Особенно подвержены осцилляциям схема Кранка-Никольсона, основная разность членов конвекции или аккумуляции и формулировка МКЭ Наряду с погрешностями дискретности имеют значение также погрешности в стабильности, вытекающие из ограниченного количества численных расчетов. Безусловно стабильной считается численная модель миграции, если численная погрешность (округления) уменьшается от одного временного шага к другому, а условно стабильной - если это происходит только при определенных условиях. Эти условия для особых случаев аналитически представлены в работе . Таким образом, сравнением с аналитическими решениями фиксируется условие стабильности при заданной пространственной дискретизации путем установления критической величины временного шага через критические числа Di или Сг. Безусловно стабильной является неявная схема решения с у-1, причем с уменьшением у возрастает склонность к нестабильности. Численное решение составленной системы уравнений (матричное уравнение) также таит в себе возможности погрешностей. К очень большим погрешностям, сильно распространяющимся при условном стабильном методе, может приводить решение системы уравнений с плохо выраженными условиями, у которых элементы основных диагоналей матрицы коэффициентов в недостаточной степени преобладают по сравнению с основными диагоналями кодиа - гоналей. Значительные погрешности в решении уравнений может вызывать решение всей системы уравнений с помощью частного метода шагов (например, неявного метода переменных направлений) и переноса элементов матрицы коэффициентов в правую ч"асть уравнений путем умножения на временные или итеративно зависимые переменные с обратной датировкой для создания ленточных матриц с незначительной шириной ленты (преимущественно тридиаго - нальные матрицы коэффициентов). По этой причине следует тщательно проверять и контролировать программы компьютера па численному моделированию миграции, особенно путем сравнения с аналитическими решениями. На основе численного решения производится первичное определение числа опорных точек в пространственно-временной сетке. Число опорных точек по времени или по размеру итерационного шага при нелинейном решении указывает количество определяемых локально-дискретных значений зависимых переменных (Я или иногда vx, vy, с) и таким образом влияет на число уравнений системы. Затраты времени на одноразовое решение этой системы уравнений являются основной величиной для оценки затрат; они зависят от типа ЭВМ, используемого метода для решения системы 124 уравнений и качества генерированной вычислительной программы. Если эти затраты умножить на число временных или итерационных шагов, необходимых для моделирования, и прибавить к этому затраты времени на корректирование матриц коэффициентов и правой стороны уравнений, то получится время, необходимое для математического моделирования на ЭВМ. Потребность в месте накопителей для математического моделирования многомерных процессов миграции определяется прежде всего потребностью в месте накопления подпрограммы для решения системы уравнений. |
Обработка графической информации
Кодирование и обработка графической и мультимедийной информации
Пространственная дискретизация
Графическая информация может быть представлена в аналоговой и дискретной формах. Примером аналогового представления графической информации может служить живописное полотно, цвет которого изменяется непрерывно, а дискретного - изображение, напечатанное с помощью струйного принтера и состоящее из отдельных точек разного цвета.
Графические изображения из аналоговой (непрерывной) формы в цифровую (дискретную) преобразуются путем пространственной дискретизации . Пространственную дискретизацию изображения можно сравнить с построением изображения из мозаики (большого количества маленьких разноцветных стекол). Изображение разбивается на отдельные маленькие элементы (точки, или пиксели ), причем каждый элемент может иметь свой цвет (красный, зеленый, синий и т. д.).
Пиксель - минимальный участок изображения, для которого независимым образом можно задать цвет.
В результате пространственной дискретизации графическая информация представляется в виде растрового изображения , которое формируется из определенного количества строк, содержащих, в свою очередь, определенное количество точек (рис. 1.1).
Разрешающая способность. Важнейшей Характеристикой качества растрового изображения является разрешающая способность
Разрешающая способность растрового изображения определяется количеством точек как по горизонтали, так и по вертикали на единицу длины изображения.
Чем меньше размер точки, тем больше разрешающая способность (больше строк растра и точек в строке) и, соответственно, выше качество изображения. Величина разрешающей способности обычно выражается в dpi (dot per inch - точек на дюйм), т. е. в количестве точек в полоске изображения длиной один дюйм (1 дюйм = 2,54 см)
Пространственная дискретизация непрерывных изображений, хранящихся на бумаге, фото- и кинопленке, может быть осуществлена путем сканирования. В настоящее время все большее распространение получают цифровые фото- и видеокамеры, которые фиксируют изображения сразу в дискретной форме.
Качество растровых изображений, полученных в результате сканирования, зависит от разрешающей способности сканера, которую производители указывают двумя числами (например, 1200 х 2400 dpi)
Сканирование производится путем перемещения полоски светочувствительных элементов вдоль изображения. Первое число является оптическим разрешением сканера и определяется количеством светочувствительных элементов на одном дюйме полоски. Второе число является аппаратным разрешением ; оно определяется количеством "микрошагов", которое может сделать полоска светочувствительных элементов, перемещаясь на один дюйм вдоль изображения.
Глубина цвета. В процессе дискретизации могут использоваться различные палитры цветов , т. е. наборы цветов, в которые могут быть окрашены точки изображения. Каждый цвет можно рассматривать как возможное состояние точки. Количество цветов N в палитре и количество информации I, необходимое для кодирования цвета каждой точки, связаны между собой и могут быть вычислены по формуле:
В простейшем случае (черно-белое изображение без градаций серого цвета) палитра цветов состоит всего из двух цветов (черного и белого). Каждая точка экрана может принимать одно из двух состояний - "черная" или "белая", следовательно, по формуле (1.1) можно вычислить, какое количество информации необходимо, чтобы закодировать цвет каждой точки.
2 = 2 i = 2 1 = 2 i = i=1 бит.
Глубина цвета, (битов)
Количество цветов в палитре, N
2 24 =16 777 216
или почему разрешение файла должно превышать линиатуру растра не менее, чем в два раза
Характерной особенностью современных полиграфических систем обработки полутоновых оригиналов является то, что как пространственная дискретизация изображения, так и квантование его тона по уровню осуществляются в них по крайней мере дважды. Пространственная дискретизация - замена изображения, тон которого произвольно изменяется в координатах X и Y, изображением, составленным из отдельных участков - зон, в пределах которых этот параметр усреднен. В общем случае, как уже указывалось, частота дискретизации должна минимум в два раза превышать частоту гармонической составляющей исходного изображения, подлежащей воспроизведению на копии. Это положение схематически поясняет рис. 1 (а), на позиции а) которого исходное непрерывное сообщение есть синусоидальное колебание и(t) с периодом Т. Спектр такого сигнала составляют постоянная составляющая и первая гармоника:
u = U 0 +U l sin(27tt/T)
Рис. 1.
Исходный сигнал (а), значения его выборки и глубина модуляции (%) при нулевой (б), противоположной (в) и промежуточной (г) фазе частоты дискретизации.
При нулевой фазе дискретных
отсчётов U D
периода Т/2
глубина их модуляции первой гармоникой исходного сигнала равна нулю и информация о частоте целиком утрачивается. Передается лишь среднее значение U 0
исходного сигнала (см. рис.
1, б). С изменением фазы отсчётов на половину их периода глубина модуляции оказывается равной 100% (см. рис.
1, в). Промежуточным между рассмотренными фазам
отсчётов сопутствуют искажения амплитуды и фазы первой гармоники, хотя, как показывает график на рис.
1 (г), информация о ее частоте сохраняется. Как минимум одномерная (по одной из координат) дискретизация изображений сопутствует процессу электрооптического анализа. В аналоговых репродукционных системах и в телевидении оптический параметр, являющийся функцией координат оригинала или передаваемой сцены, преобразуется в амплитуду электрического сигнала, изменяющегося на выходе ФЭП во времени при построчном считывании (сканировании). Спектр пространственных частот изображения в направлении, поперечном направлению
строчной развертки, ограничивается частотой разложения на строки. В силу конечных размеров сканирующего пятна (апертуры) этот спектр ограничен и вдоль строк частотой, обратной величине этого пятна. Второй причиной ограничения спектра частот и дискретизации изображения вдоль строки является модуляция видеосигналом амплитуд, фаз или частот дополнительного электромагнитного колебания -несущей частоты, необходимой для передачи сигнала, например, в телевидении или в аналоговом дистанционном (с использованием электрических каналов связи) репродуцировании.
Двухмерная (по обеим координатам) дискретизация и квантование имеют место при так называемом аналого-цифровом преобразовании видеосигнала, в результате которого совокупность пространственных
отсчётов значения тона может быть представлена некоторым массивом чисел, записанных, например, в двоичном коде. Такое представление позволяет отвлечься от времени реального сканирования и производить функциональные преобразования тона, цвета, мелких деталей, контуров и другого содержания изображения как операции над числами этого массива. Для подобных целей ныне эффективно используются
ПЭВМ.
Пространственная дискретизация сопутствует и растрированию - представлению изображения в виде совокупности запечатанных и пробельных элементов, относительная площадь которых определяется тоном или цветом соответствующих участков оригинала. При этом, как уже указывалось, частота первой дискретизации, связанной с электрооптическим анализом и аналого-цифровым преобразованием, принимается, как правило, в
два раза
превышающей линиатуру полиграфического растра, а точнее, частоту растровой функции, внутри периода которой формируется то или иное количество растровых точек и пробелов.
Если это условие соблюдается, то при воспроизведении системы периодических штрихов произвольной пространственной фазы размеры соседних
точек будут хоть сколько-нибудь отличаться друг от друга во всех случаях
кроме одного: когда сами штрихи сдвинуты ровно на половину периода относительно элемента разложения 1 и растровой ячейки. На оттиске вместо
штрихов образуется равномерное поле одинаковых растровых точек с относительной площадью 50% (см. рис.
2, г), поскольку коэффициент отражения оригинала, усредненный по площади считывающего пятна I имеет одинаковое (промежуточное) значение для всех элементов растра. В зону отсчета
7 каждый раз попадает по половине штриха и половине пробела
(см. рис. 2, в). Этот случай аналогичен представленному на рис.
1 (б).
Рис. 2.
Штрихи частоты 0,51 в растровой решетке линиатуры L при совпадающих
(а) и противоположных (в) фазах; их растровые копии:
б, г - при считывающем элементе 1 равном шагу линиатуры; д - при
отсчётах 2 вдвое меньших шага растра.
Во всех других пространственных фазах контраст штрихов на репродукции оказывается выше, поскольку отличаются значения соседних отсчётов и размеры формируемых в соответствии с ними растровых точек. Максимальное различие имеет место в противоположном крайнем случае, когда, как показано на рис. 2 (а, б), штрихи частоты 0,51 совпадают по фазе с растровой решеткой. Здесь имеет место аналогия со случаем, иллюстрируемым рис. 1 (а, в). Они передаются растром в два раза большей линиатуры, равной L лин/см, без потери контраста. Гарантию передачи штрихов с полным контрастом независимо от их пространственной фазы дает частота разложения, в два раза превышающая растровую линиатуру, как поясняет рис. 2 (д). Поскольку в полиграфическом репродуцировании имеют место как минимум две пространственные дискретизации изображения, из приведенного упрощенного примера следует, что двукратный запас по частоте разложения необходимо предусматривать дважды. В первый раз это приходиться делать при выборе линиатуры растра, если ставится задача воспроизведения на оттиске определенных пространственных частот оригинала. Второй двукратный запас, на этот раз уже по отношению к выбранному значению линиатуры, устанавливается для частоты сканирования оригинала. Например, для воспроизведения штрихов, имеющих на оригинале частоту 4 лин/мм, необходима линиатура оттиска 80 лин/см (~200dpi) (а также соответствующая ей гладкость бумаги и другие параметры печати). Считывать такой оригинал при сканировании приходится уже с частотой 16 лин/мм (~400ppi). Степень разрушения контуров и мелких деталей в растровом процессе несколько снижается, если частота отсчётов в соответствии с положениями теории дискретизации в два раза превышает линиатуру растра (см. рис. 3, д, е).
Рис. 3.
«Воронка» (а) и случайное (б) распределение весовых значений; изображения
контура 1, разделяющего на оригинале участки с поглощением 0,94 и 0,04,
на основе одного (в, г), четырех (д, е) и 64-х (ж, з)
отсчётов на период растра;
2 - зона отсчета анализа
Пересекаемый контуром участок оригинала представляется в этом случае четырьмя различными по значениям отсчётами. Четыре фрагмента соответствующего участка копии формируются по разным знакам «алфавита» точек. Форма площади, запечатываемой внутри участка, модулируется геометрией контура, и последний передается с большей графической точностью и резкостью. Этот эффект наглядно иллюстрирует модель на рис. 4 (г) в сравнении с представленными на рис. 4(б,в).
Рис. 4.
Штриховые элементы (а) полутонового оригинала и их растровые копии с использованием:
Точность передачи контура полного контраста повышается и далее по мере увеличения частоты считывания оригинала и оказывается на уровне разрешающей способности выводного устройства, когда каждому элементу синтеза в исходном видео массиве соответствует независимый многоуровневый отсчет (см. рис. 3, ж, з). Зоны отсчётов, как правило, почти на порядок превышают размеры элементов синтеза и не могут быть существенно уменьшены. Иначе чрезмерно, в среднем на два порядка, возрастают и без того большие, исчисляемые десятками и сотнями мегабайт, объемы иллюстрационных файлов. Соответственно растет емкость устройств хранения, время обработки и обмена видеоинформации между различными модулями и рабочими местами до-печатных систем, время передачи или занимаемая полоса частот при дистанционном репродуцировании. На практике ограничиваются лишь двукратным превышением частоты отсчётов над линеатурой, которому соответствуют примеры на рис. 3 (д, е) и рис. 4 (г). Такие режимы и системы репродуцирования условно относят к системам типа coarse scan/fine print (грубое считывание/четкая печать). Число отсчётов равное числу субэлементов синтеза, т. е. режимы типа fine scan/fine print, встречаются лишь в устройствах вывода непрерывного тона или струйно-капельной цифровой печати при относительно малых форматах изображений, низких разрешающих способностях ввода/вывода (порядка 12-24 лин/мм (300-600dpi)) и в этой связи невысоких линиатурах.